已知关于x的绝对值方程|x^2+ax+b|=2，其中a,b属于实数。

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/09/26 00:24:04

（1）
当a,b适合什么条件是，方程的解集恰有3个元素？
（2）
试求方程解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长的充要条件。
紧急，谢谢

解：

1.令f(x)=x^2+ax+b,则函数y=f(x)的图像开口向上

原方程|x^2+ax+b|=2的解集即为f(x)=2或-2的解集

也就是y=f(x)的图像与y=±2交点的横坐标，如图

而f(x)的最小值为f(-a/2)=b-(a^2)/4

当f(x)的最小值=-2时，方程的解集恰有3个元素

所以a,b适合条件是b-(a^2)/4=-2，即4b+8-a^2=0

2.解集中的元素恰好各为直角三角形的三边长，则有

解集中的三个元素都大于0。

令f(x)=x^2+ax+b，则f(0)=b>2,对称轴：-a/2>0,所以a<0

此时，|f(x)|=2的三个解为：

x1={-a-√[a^2-4(b-2)]}/2

x2=-a/2

x3={-a+√[a^2-4(b-2)]}/2

当x1,x2,x3恰为直角三角形三边长时，有x1^2+x2^2=x3^2

即a^2+2a√(a^2-4b)+a^2-4b+a^2=a^2-2a√(a^2-4b)+a^2-4b

于是：4a√[a^2-4(b-2)]+a^2=0

同时|f(x)|=2有三个解，a,b满足：4b+8-a^2=0，即a^2-4(b-2)=16

代入上式，得16a+a^2=0,

所以a=-16,b=62

再证明该条件的充分性：

将a=-16,b=62代入f(x)；

解方程f(x)=2或-2，得：x1=6,x2=8,x3=10

恰为直角三角形三边长；

所以所求充要条件为：a=-16,b=62